Точки сочленения. Компоненты вершинной двусвязности: различия между версиями

Материал из Олимпиадное программирование в УлГТУ
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 7 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
* Для каждой вершины <tt>v</tt> будем подсчитывать время входа <tt>tIn[v]</tt> и величину <tt>tUp[v]</tt> &mdash; минимальное <tt>tIn</tt> для некоторой вершины, достижимой из текущего поддерева переходом по одному обратному ребру.
+
* Для каждой вершины <tt>v</tt> будем подсчитывать глубину <tt>depth[v]</tt> и величину <tt>upDepth[v]</tt> &mdash; минимальную глубину некоторой вершины, достижимой из текущего поддерева переходом по одному обратному ребру.
* Вершина <tt>v</tt> является точкой сочленения, если из её поддерева в дереве обхода в глубину нет обратных рёбер в её предков (<tt>tUp[v] >= tIn[v]</tt>).
+
* Вершина <tt>v</tt> является точкой сочленения, если у неё имеется хотя бы один такой потомок to, что из поддерева этого потомка в дереве обхода в глубину нет обратных рёбер в предков вершины v (<tt>upDepth[to] >= depth[v]</tt>).
 
* Корень дерева обхода в глубину (<tt>parent == -1</tt>) является точкой сочленения тогда и только тогда, когда у него более одного непосредственного потомка.
 
* Корень дерева обхода в глубину (<tt>parent == -1</tt>) является точкой сочленения тогда и только тогда, когда у него более одного непосредственного потомка.
  
  vector<int> g[V_CNT];
+
  struct Graph {
bool u[V_CNT];
+
    vector<vector<int>> g;
int tIn[V_CNT], tUp[V_CNT], timer;  
+
    vector<int> visited, depth, upDepth;
 +
    vector<int> cutpoints;
 +
 +
    void dfs(int v, int p) {
 +
        visited[v] = 1;
 +
        depth[v] = (p == -1 ? 0 : depth[p] + 1);
 +
        upDepth[v] = depth[v];
 +
        int childrenCount = 0;
 
   
 
   
void dfs(int v, int parent = -1) {
+
        for (int to : g[v]) {
    u[v] = 1;
+
            if (to == p) {
    tUp[v] = tIn[v] = timer++;
+
                continue;
    int childrenCount = 0;
+
            } else if (!visited[to]) {
    for (int i = 0; i < g[v].size(); i++) {
+
                dfs(to, v);
        if (!u[g[v][i]]) {
+
                childrenCount++;
            dfs(g[v][i], v);
+
                upDepth[v] = min(upDepth[v], upDepth[to]);
             childrenCount++;
+
                if (p != -1 && upDepth[to] >= depth[v])
            tUp[v] = min(tUp[v], tUp[g[v][i]]);
+
                    cutpoints.push_back(v);
         } else if (g[v][i] != parent)
+
             } else {
             tUp[v] = min(tUp[v], tIn[g[v][i]]);
+
                upDepth[v] = min(upDepth[v], depth[to]);
 +
            }
 +
         }
 +
 +
        if (p == -1 && childrenCount > 1)
 +
             cutpoints.push_back(v);
 +
    }
 +
 +
    Graph(int vertexCount) {
 +
        g.resize(vertexCount);
 +
        visited.resize(vertexCount);
 +
        depth.resize(vertexCount);
 +
        upDepth.resize(vertexCount);
 +
    }
 +
 +
    void addEdge(int a, int b) {
 +
        g[a].push_back(b);
 +
        g[b].push_back(a);
 
     }
 
     }
    if (tUp[v] >= tIn[v] || (parent == -1 && childrenCount > 1))
 
        /* v - точка сочленения */;
 
}
 
 
   
 
   
for (int i = 0; i < V_CNT; i++)
+
    vector<int> findCutpoints() {
    u[i] = tIn[i] = tUp[i] = 0;
+
        for (int v = 0; v < g.size(); v++)
timer = 0;
+
            if (!visited[v])
for (int i = 0; i < V_CNT; i++)
+
                dfs(v, -1);
    if (!u[i])
+
        return cutpoints;
        dfs(i);
+
    }
 +
};
  
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
* [http://e-maxx.ru/algo/cutpoints e-maxx.ru &mdash; Поиск точек сочленения]
+
Теория:
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0_%D0%B2_%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA_%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F neerc.ifmo.ru/wiki &mdash; Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]
+
:* [http://e-maxx.ru/algo/cutpoints e-maxx.ru &mdash; Поиск точек сочленения]
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 neerc.ifmo.ru/wiki &mdash; Построение компонент вершинной двусвязности]
+
:* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0_%D0%B2_%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA_%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F neerc.ifmo.ru/wiki &mdash; Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]
* [http://informatics.mccme.ru/course/view.php?id=6 informatics.mccme.ru &mdash; Курс &laquo;Алгоритмы на графах&raquo; &mdash; часть 2]
+
:* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 neerc.ifmo.ru/wiki &mdash; Построение компонент вершинной двусвязности]
* [http://ejudge.btty.su/bmstu/addon/docs/articles/moscow2006-dfs.pdf Лахно А. П. Поиск в глубину и его применение]
+
:* [http://algorithmica.org/tg/bridges algorithmica.org — Мосты и точки сочленения]
* [http://visualgo.net/dfsbfs.html VisuAlgo &mdash; Graph Traversal]
+
:* [https://notes.algoprog.ru/dfs/04_4_bridges.html Калинин П. Мосты и точки сочленения]
* [http://github.com/indy256/codelibrary/blob/master/java/src/BiconnectedComponents.java CodeLibrary &mdash; Biconnected components, bridges and cut points]
+
:* [https://ejudge.lksh.ru/archive/2014/07/Cprime/stuff/Dfs.pdf Лахно А. Поиск в глубину и его применение]
* [http://github.com/ADJA/algos/blob/master/Graphs/CutpointsSearch.cpp Algos &mdash; Algorithm for finding all cutpoints in the graph]
+
Демонстрация:
 +
:* [https://visualgo.net/en/dfsbfs VisuAlgo &mdash; Graph Traversal]
 +
Код:
 +
:* [https://github.com/indy256/codelibrary/blob/master/java/graphs/dfs/Biconnectivity.java codelibrary/java/graphs/dfs/Biconnectivity.java]
 +
:* [http://github.com/ADJA/algos/blob/master/Graphs/CutpointsSearch.cpp algos/Graphs/CutpointsSearch.cpp]
 +
Задачи:
 +
:* [http://informatics.mccme.ru/course/view.php?id=6 informatics.mccme.ru &mdash; Курс &laquo;Алгоритмы на графах&raquo; &mdash; часть 2]
  
 
[[Category:Поиск в глубину и его приложения]]
 
[[Category:Поиск в глубину и его приложения]]

Текущая версия на 18:47, 4 июня 2021

  • Для каждой вершины v будем подсчитывать глубину depth[v] и величину upDepth[v] — минимальную глубину некоторой вершины, достижимой из текущего поддерева переходом по одному обратному ребру.
  • Вершина v является точкой сочленения, если у неё имеется хотя бы один такой потомок to, что из поддерева этого потомка в дереве обхода в глубину нет обратных рёбер в предков вершины v (upDepth[to] >= depth[v]).
  • Корень дерева обхода в глубину (parent == -1) является точкой сочленения тогда и только тогда, когда у него более одного непосредственного потомка.
struct Graph {
    vector<vector<int>> g;
    vector<int> visited, depth, upDepth;
    vector<int> cutpoints;
	
    void dfs(int v, int p) {
        visited[v] = 1;
        depth[v] = (p == -1 ? 0 : depth[p] + 1);
        upDepth[v] = depth[v];
        int childrenCount = 0;

        for (int to : g[v]) {
            if (to == p) {
                continue;
            } else if (!visited[to]) {
                dfs(to, v);
                childrenCount++;
                upDepth[v] = min(upDepth[v], upDepth[to]);
                if (p != -1 && upDepth[to] >= depth[v])
                    cutpoints.push_back(v);
            } else {
                upDepth[v] = min(upDepth[v], depth[to]);
            }
        }

        if (p == -1 && childrenCount > 1)
            cutpoints.push_back(v);
    }

    Graph(int vertexCount) {
        g.resize(vertexCount);
        visited.resize(vertexCount);
        depth.resize(vertexCount);
        upDepth.resize(vertexCount);
    }

    void addEdge(int a, int b) {
        g[a].push_back(b);
        g[b].push_back(a);
    }

    vector<int> findCutpoints() {
        for (int v = 0; v < g.size(); v++)
            if (!visited[v])
                dfs(v, -1);
        return cutpoints;
    }
};

Ссылки

Теория:

Демонстрация:

Код:

Задачи: