Дерево отрезков

Запрос на отрезке и модификация отдельных элементов

• Если отрезок текущей вершины не пересекается с отрезком запроса, то возвращается нейтральное значение.
• Если отрезок текущей вершины целиком включён в отрезок запроса, то возвращается значение, хранящееся в текущей вершине.
• Во всех остальных случаях запрос перенаправляется потомкам текущей вершины.

Можно выделить два распространённых способа реализации данной логики:

if (r < vl || vr < l) //отрезки не пересекаются if (l <= vl && vr <= r) //отрезок текущей вершины принадлежит отрезку запроса query(2 * v + 1, vl, vm, l, r); query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);

if (l > r) //отрезки не пересекаются if (l == vl && vr == r) //отрезок текущей вершины принадлежит отрезку запроса query(2 * v + 1, vl, vm, l, min(r, vm)); query(2 * v + 2, vm + 1, vr, max(l, vm + 1), r);

struct SegmentTree {
    int size;
    vector<long long> t;

    void build(int v, int vl, int vr, vector<int> &a) {
        if (vl == vr) {
            t[v] = a[vl];
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        build(2 * v + 1, vl, vm, a);
        build(2 * v + 2, vm + 1, vr, a);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }

    long long query(int v, int vl, int vr, int l, int r) {
        if (vr < l || r < vl)
            return 0;
        if (l <= vl && vr <= r)
            return t[v];
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        long long ql = query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
        long long qr = query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
        return ql + qr;
    }

    void modify(int v, int vl, int vr, int index, int value) {
        if (vr < index || index < vl)
            return;
        if (vl == vr) {
            t[v] += value;
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        modify(2 * v + 1, vl, vm, index, value);
        modify(2 * v + 2, vm + 1, vr, index, value);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }

    SegmentTree(vector<int> &a) :
        size(a.size()), t(4 * a.size()) {
        build(0, 0, size - 1, a);
    }

    long long getSum(int l, int r) {
        return query(0, 0, size - 1, l, r);
    }

    void addValue(int index, int value) {
        modify(0, 0, size - 1, index, value);
    }
};

Запрос на отрезке и модификация на отрезке

• Считаем, что актуальное значение в вершине v равно t[v] + add[v] * (vr - vl + 1).
• Перед выводом результата или передачей запроса будем спускать значение add[v] потомкам текущей вершины при помощи функции push().

struct SegmentTree {
    int size;
    vector<long long> t, tAdd;

    void build(int v, int vl, int vr, vector<int> &a) {
        if (vl == vr) {
            t[v] = a[vl];
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        build(2 * v + 1, vl, vm, a);
        build(2 * v + 2, vm + 1, vr, a);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }

    void push(int v, int vl, int vr) {
        if (tAdd[v]) {
            t[v] += (vr - vl + 1) * tAdd[v];
            if (vl < vr) {
                tAdd[2 * v + 1] += tAdd[v];
                tAdd[2 * v + 2] += tAdd[v];
            }
            tAdd[v] = 0;
        }
    }

    long long query(int v, int vl, int vr, int l, int r) {
        push(v, vl, vr);
        if (vr < l || r < vl)
            return 0;
        if (l <= vl && vr <= r)
            return t[v];
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        long long ql = query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
        long long qr = query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
        return ql + qr;
    }

    void modify(int v, int vl, int vr, int l, int r, int value) {
        push(v, vl, vr);
        if (vr < l || r < vl)
            return;
        if (l <= vl && vr <= r) {
            tAdd[v] += value;
            push(v, vl, vr);
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        modify(2 * v + 1, vl, vm, l, r, value);
        modify(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r, value);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }

    SegmentTree(vector<int> &a) :
        size(a.size()), t(4 * a.size()), tAdd(4 * a.size()) {
        build(0, 0, size - 1, a);
    }

    long long getSum(int l, int r) {
        return query(0, 0, size - 1, l, r);
    }

    void addValue(int l, int r, int value) {
        modify(0, 0, size - 1, l, r, value);
    }
};

Почему для хранения дерева отрезков требуется массив размера 4n?

Пусть для массива a[] из n элементов создаётся дерево отрезков, хранящееся в массиве t[]. Правило требует, чтобы размер массива t[] был не менее 4n.

Дерево отрезков для массива из 8 элементов требует 15 элементов

Однако можно рассуждать следующим образом: двоичным деревом с наибольшим количеством элементов является полное двоичное дерево. Если количество листьев в полном двоичном дереве равно n, то общее количество вершин в нём равно 2n - 1. Возможно ли, что для хранения дерева отрезков всегда будет достаточно массива размера 2n?

Дерево отрезков для массива из 10 элементов требует 25 элементов

К сожалению, это не так. Процедура build не обязательно формирует полное двоичное дерево; некоторые элементы массива t[] могут не использоваться. Например, если n = 5, то дерево отрезков имеет высоту 4 и содержит 9 элементов. Если N = 10, объединяются два таких дерева высоты 4, и на нижнем уровне появляются 6 неиспользуемых элементов (t[17]..t[22]).

Оценим более точно требуемый размер массива t[].

Прежде всего определим вспомогательные функции leftHalf(n) и rightHalf(n), возвращающие размер левого и правого поддеревьев дерева отрезков для массива a[] из n элементов (n > 1). Если n чётно, то обе функции возвращают n / 2. Если n нечётно, то средний элемент относится к левой части.

int leftHalf(int n) {
    return n / 2 + n % 2;
}

int rightHalf(int n) {
    return n / 2;
} 

Далее определим функцию height(n), возвращающую высоту дерева отрезков для массива a[] из n элементов. Если n = 1, то height(n) = 1. В других случаях height(n) = 1 + max(height(leftHalf(n)), height(rightHalf(n))); так как левое поддерево всегда не меньше правого, эту запись можно упростить: height(n) = 1 + height(leftHalf(n)).

Кроме того, определим функцию fullSize(h), возвращающую размер полного двоичного дерева высоты h.

int height(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    else
        return 1 + height(leftHalf(n));
}

int fullSize(int h) {
    return (1 << h) - 1;
}

Наконец, определим функцию tSize(n), возвращающую размер t[] для массива a[] из n элементов. Если n = 1, то tSize(n) = 1. Далее, если левое и правое поддерево имеют одинаковую высоту, то необходимый размер t[] определяется последним (нижним) элементом правого поддерева, а левое поддерево становится полным: tSize(n) = 1 + fullSize(height(leftHalf(n))) + tSize(rightHalf(n)). Если же левое поддерево выше правого, то необходимый размер t[] определяется последним (нижним) элементом левого поддерева, а правое поддерево становится полным: tSize(n) = 1 + tSize(leftHalf(n)) + fullSize(height(rightHalf(n))).

int tSize(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    int leftHeight = height(leftHalf(n)), rightHeight = height(rightHalf(n));
    if (leftHeight == rightHeight)
        return 1 + fullSize(leftHeight) + tSize(rightHalf(n));
    else
        return 1 + tSize(leftHalf(n)) + fullSize(rightHeight);
}

Функции tSize(x), 2x, 3x, 4x

Можно видеть, что график функции tSize практически всегда находится выше графика функции 2x и всегда ниже графика функции 4x. Например, tSize(8448) = 32705, что значительно превышает не только удвоенный, но и утроенный размер исходного массива.

• Quora.com — Why does 4 * N space have to be allocated for a segment tree, where N is the size of the original array?

Ссылки

Теория:

• Codeforces EDU — Дерево отрезков: часть 1, часть 2
• e-maxx.ru — Дерево отрезков
• neerc.ifmo.ru/wiki — Дерево отрезков
• brestprog — Дерево отрезков
• Копелиович С. Лекция про структуры данных Зимней школы МФТИ
• i.cs.hku.hk — Segment Trees: Applications
• sharmaeklavya2.github.io — Generalizing Segment Trees
• Ibtehaz N. Multidimensional segment trees can do range queries and updates in logarithmic time

Демонстрация:

• VisuAlgo — Segment Tree

Код:

• CodeLibrary — Segment Tree with interval modification
• CodeLibrary — Segment Tree with interval modification without recursion
• Algos — Segment Tree (Assign-Sum)
• Algos — Implicit segment tree

Задачи:

• informatics.mccme.ru — Тема «Дерево отрезков, RSQ, RMQ»
• Задачи Зимней школы МФТИ: группа C, группа B, группа A
• Задачи: Дерево отрезков