Алгоритм Мо

Когда применяется

• Тяжёлые запросы на отрезках:

• Количество различных элементов на отрезке
• Наиболее частый элемент на отрезке
• Количество чисел x, встречающихся x раз на отрезке
• Количество инверсий на отрезке

• Элементы массива не меняются;
• Ответ на запросы в оффлайне (запросы будут сортироваться, отвечать будем не в том порядке, в котором они даны).

Что делаем

1. Мысленно делим массив на sqrt(N) блоков длины sqrt(N); для каждого запроса вычисляем номер блока, в который попадает его левый конец:

struct Query {
    int left, right, block, index;
} queries[100010];

int blockSize = sqrt(arraySize); 
for (int i = 0; i < queriesCount; i++) {
    scanf("%d%d", &queries[i].left, &queries[i].right);
    queries[i].block = queries[i].left / blockSize;
    queries[i].index = i;
}

2. Сортируем запросы сначала по возрастанию блока, затем по возрастанию правого конца:

bool compare(Query &a, Query &b) {
    return tie(a.block, a.right) < tie(b.block, b.right);
}

sort(queries, queries + queriesCount, compare);

3. Заводим индексы l и r для начала и конца рабочего отрезка, рассчитываем ответ на рабочем отрезке:

int l = 0, r = 0, curAns = ... /* ответ для [0..0] */;

4. Обрабатываем запросы в порядке сортировки, втупую двигая l и r куда нужно и обновляя ответ для рабочего отрезка:

for (int i = 0; i < queriesCount; i++) {
    while (l < queries[i].left) {
        ... /* исключаем a[l], обновляем curAns */
        l++;
    }
    while (l > queries[i].left) {
        l--;
        ... /* добавляем a[l], обновляем curAns */
    }
    while (r < queries[i].right) {
        r++;
        ... /* добавляем a[r], обновляем curAns */
    }
    while (r > queries[i].right) {            
        ... /* исключаем a[r], обновляем curAns */
        r--;
    }
    ans[queries[i].index] = curAns;
}

Обрати внимание: в некоторых задачах важен порядок операций: например, сначала расширяем рабочий отрезок, затем сужаем.

За сколько это работает

Предполагаем, что curAns обновляется за O(1).

Всего обрабатывается sqrt(N) блоков. Внутри каждого блока:

• l при каждом запросе движется влево/вправо не более чем на sqrt(N). Всего по всем блокам — не более Qsqrt(N) раз (Q — количество запросов);
• r движется только вправо, не более N раз для блока. Всего по всем блокам — не более Nsqrt(N) раз.

Итого асимптотика (Q + N)sqrt(N) (плюс QlogQ на сортировку).

Ссылки

Теория:

• neerc.ifmo.ru/wiki — Алгоритм Мо
• ipc.susu.ru — Алгоритм Мо
• algocode.ru — Алгоритм Мо
• blog.anudeep2011.com — Mo's algorithm
• hackerearth.com — Mo's algorithm
• hackerrank.com — Mo's algorithm
• Codeforces — Mo's Algorithm (with and without update)
• Codeforces — Everything on Mo's Algorithm
• Codeforces — Два варианта написания алгоритма Мо и 3Д Мо

Задачи:

• Codeforces 86.D
• Codeforces 220.B
• SPOJ DQUERY
• CodeChef IITI1 (понадобится дерамида или сжатие координат + дерево Фенвика)