Динамическое программирование

Одномерная динамика (вход — параметр; подзадача — меньший параметр)

Числа Фибоначчи

Найти n-й элемент ряда Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

Вид подзадачи: d[i] — i-е число Фибоначчи.

Рекуррентная формула: d[i] = d[i - 1] + d[i - 2].

База рекурсии: d[0] = d[1] = 1.

Вид ответа: d[n]. Сложность O(N). (*Данная задача может быть решена за O(logN).)

• Brilliant.org — Fast Fibonacci Transform

Рюкзак: количество способов набрать вес M, предметы можно брать несколько раз

• CSES 1635

Рюкзак: набрать вес <= M, максимизировать стоимость, предметы можно брать несколько раз

Дано N предметов, i-й из которых имеет целочисленные вес w[i] > 0 и стоимость p[i] > 0. Выбрать часть предметов так, чтобы их общий вес не превышал M, а общая стоимость была максимальна. Каждый предмет можно брать неограниченное число раз.

Вид подзадачи: d[j] — максимальная стоимость подмножества предметов, общий вес которых не превосходит j.

Рекуррентная формула: d[j] = max(d[j - w[i]] + p[i]), где i ∈ 0..(n - 1).

База рекурсии: Если j <= 0, то d[j] = 0.

Вид ответа: d[m]. Сложность O(N × M).

• Dean B. — Integer knapsack problem

Размен минимальным количеством монет

Дано N монет, i-я из которых имеет целочисленную стоимость p[i] > 0. Определить минимальное количество монет, которыми можно разменять сумму M.

Вид подзадачи: d[j] — минимальное количество монет общей стоимостью j.

Рекуррентная формула: d[j] = min(d[j - p[i]] + 1), где i ∈ 0..(n - 1).

База рекурсии: Если j = 0, то d[j] = 0; если j < 0, то d[j] = INF.

Вид ответа: d[m]. Сложность O(N × M).

• Dean B. — Making Change
• CSES 1634

Другие задачи

• Timus #1087 — Время забирать камни
• CSES 1140
• CSES 1633
• CSES 1637

Одномерная динамика (вход — последовательность; подзадача — префикс)

Количество путей в полосе

Дана полоса из n клеток. Фишка находится в клетке 0 и может перемещаться на 1, 2 или 3 клетки вправо. Найти количество различных путей фишки от клетки 0 до клетки (n - 1). Некоторые клетки могут быть непроходимыми.

Вид подзадачи: d[i] — количество путей из клетки 0 в клетку i.

Рекуррентная формула: d[i] = d[i - 1] + d[i - 2] + d[i - 3].

База рекурсии: d[0] = 1; если i-я клетка непроходимая или i < 0, то d[i] = 0.

Вид ответа: d[n]. Сложность O(N).

Максимальный путь в полосе

Дана полоса из n клеток, в каждой клетке которой записано число. Фишка находится в клетке 0 и может перемещаться на 1, 2 или 3 клетки вправо. Найти максимально возможную сумму чисел на посещённых клетках при перемещении фишки от клетки 0 до клетки (n - 1). Некоторые клетки могут быть непроходимыми.

Вид подзадачи: d[i] — максимальная сумма на пути из клетки 0 в клетку i.

Рекуррентная формула: d[i] = a[i] + max(d[i - 1], d[i - 2], d[i - 3]).

База рекурсии: d[0] = a[0]; если i-я клетка непроходимая или i < 0, то d[i] = -INF.

Вид ответа: d[n]. Сложность O(N).

• Codeforces #100070.K — Лесенка

Одномерная динамика (вход — последовательность; подзадача — префикс; модификация)

Подотрезок с максимальной суммой

Дан целочисленный массив a[n]. Определить максимальную сумму его элементов, принадлежащих некоторому непрерывному диапазону a[i]..a[j].

Вид подзадачи: d[i] — максимальная сумма на отрезке, заканчивающимся на элементе a[i].

Рекуррентная формула: d[i] = max(d[i - 1] + a[i], a[i]).

База рекурсии: d[0] = a[0].

Вид ответа: max(d[i]), где i ∈ 0..(n - 1). Сложность O(N).

• Dean B. — Maximum Value Contiguous Subsequence
• ACMP 1092
• Timus #1296 — Гиперпереход

Наибольшая возрастающая подпоследовательность (LIS)

Дан целочисленный массив a[n]. Определить максимальную длину некоторой (не обязательно непрерывной) подпоследовательности его элементов, в которой каждый элемент больше предыдущего.

Вид подзадачи: d[i] — максимальная длина возрастающей подпоследовательности, заканчивающейся на элементе a[i].

Рекуррентная формула: d[i] = 1 + max(d[j]), где j = 0..(i - 1) и a[j] < a[i].

База рекурсии: d[0] = 1.

Вид ответа: max(d[i]), где i ∈ 0..(n - 1). Сложность O(N²). (*Данная задача может быть решена за O(NlogN), см. ACMP 1464, CSES 1145.)

• Dean B. — Longest Increasing Subsequence
• Dean B. — Building Bridges
• ACMP 122
• Codeforces #100082.A — Наибольшая возрастающая подпоследовательность

Наибольшая последовательность вкладываемых параллелепипедов

Даны размеры N параллелепипедов. Определить максимальное количество параллелепипедов, которые можно последовательно вложить друг в друга (параллелепипеды можно поворачивать, но рёбра должны быть параллельными осям координат).

Вид подзадачи: Отсортируем параллелепипеды по неубыванию объёма. d[i] — максимальное количество вложенных параллелепипедов, где объемлющим является i-й параллелепипед.

Рекуррентная формула: d[i] = 1 + max(d[j]), где j = 0..(i - 1) и j-й параллелепипед можно вложить в i-й.

База рекурсии: d[0] = 1.

Вид ответа: max(d[i]), где i ∈ 0..(n - 1). Сложность O(N²).

• Dean B. — Box Stacking

Двумерная динамика (вход — два параметра; подзадача — два меньших параметра)

Биномиальные коэффициенты

Вычислить C(m, n) — количество способов выбрать m предметов из n.

Вид подзадачи: d[i][j] — количество способов выбрать j предметов из i.

Рекуррентная формула: d[i][j] = d[i - 1][j] + d[i - 1][j - 1].

База рекурсии: Если j = 1 или j = i, то d[i][j] = 1.

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N × M).

Бросание шариков

Есть N-этажное здание и M шариков. Шарики можно бросать с разных этажей; начиная с некоторого этажа X и выше шарики при броске разбиваются. Требуется определить этаж X за наименьшее число бросков. Разбитый шарик нельзя бросать снова (количество шариков уменьшается), целый — можно.

Вид подзадачи: d[i][j] — минимальное количество бросков для определения одного из i этажей, если есть j шариков.

Рекуррентная формула: d[i][j] = 1 + min(max(d[k - 1][j - 1], d[n - k][j])), где k = 1..i.

База рекурсии: Если i = 0, то d[i][j] = 0. Если j = 1, то d[i][j] = i (придётся бросать снизу вверх подряд).

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N² × M) (*Можно быстрее).

• Brilliant.org — Egg dropping

Другие задачи

• ACMP 16
• CSES 1744
• CSES 1746

Двумерная динамика (вход — параметр, последовательность; подзадача — меньший параметр, префикс)

Рюкзак: можем ли набрать вес M

• CSES 1745

Рюкзак: набрать вес <= M, максимизировать стоимость

Дано N предметов, i-й из которых имеет целочисленные вес w[i] > 0 и стоимость p[i] > 0. Выбрать часть предметов так, чтобы их общий вес не превышал M, а общая стоимость была максимальна.

Вид подзадачи: d[i][j] — максимальная стоимость подмножества предметов от 0-го до (i - 1)-го, общий вес которых не превосходит j.

Рекуррентная формула: d[i][j] = max(d[i - 1][j], d[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1]).

База рекурсии: Если i = 0 или j <= 0, то d[i][j] = 0.

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N × M).

• Brilliant.org — Backpack Problem
• Dean B. — Integer Knapsack Problem (Duplicate Items Forbidden)
• CSES 1158

Рюкзак: набрать вес <= M, максимизировать стоимость, предметы можно брать не более K раз

Дано N предметов, i-й из которых имеет целочисленные вес w[i] > 0 и стоимость p[i] > 0. Выбрать часть предметов так, чтобы их общий вес не превышал M, а общая стоимость была максимальна. i-й предмет можно брать k[i] раз.

Вид подзадачи: d[i][j] — максимальная стоимость подмножества предметов от 0-го до (i - 1)-го, общий вес которых не превосходит j.

Рекуррентная формула: d[i][j] = max(d[i - 1][j - k * w[i - 1]] + k * p[i - 1]), где k ∈ 0..k[i].

База рекурсии: Если i = 0 или j <= 0, то d[i][j] = 0.

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N × M²).

Рюкзак: разделить на две кучи близкого веса

Дано N камней, i-й из которых имеет целочисленный вес 0 < w[i] <= M. Разделить камни на две кучи как можно более близкого веса, вывести разность весов куч.

Вид подзадачи: d[i][j] — 1, если можно набрать кучу веса j из подмножества камней от 0-го до (i - 1)-го, или 0 в противном случае.

Рекуррентная формула: d[i][j] = d[i - 1][j - w[i]].

База рекурсии: d[0][0] = 1.

Вид ответа: min(|j - (∑w - j)|), где d[n][j] = 1. Сложность O(N² × M).

• Dean B. — Balanced Partition
• CSES 1093

Число способов восстановления скобок заменой

Дана строка S, состоящая из символов '(', ')' и '?'. Найти количество способов заменить знаки вопроса на скобки так, чтобы получилась правильная скобочная последовательность.

Вид подзадачи: d[i][j] — количество способов восстановить подстроку 0..(i - 1), чтобы в ней было j непарных открывающих скобок.

Рекуррентная формула: Если s[i - 1] = '(', то d[i][j] = d[i - 1][j - 1]. Если s[i - 1] = ')', то d[i][j] = d[i - 1][j + 1]. Если s[i - 1] = '?', то d[i][j] = d[i - 1][j - 1] + d[i - 1][j + 1].

База рекурсии: d[0][0] = 1; если j < 0 или j > i, то d[i][j] = 0.

Вид ответа: d[n][0]. Сложность O(N²).

• ACMP #123 — Восстановление скобок

Другие задачи

• CSES 1636

Двумерная динамика (вход — последовательность; подзадача — подотрезок)

Перемножение цепочки матриц

Даны размеры h[] и w[] для N матриц, причём w[i] = h[i + 1]. Перемножение матрицы i на матрицу (i + 1) требует (h[i] × w[i] × w[i + 1]) операций. Определить минимальное количество операций, требуемое для перемножения всех матриц.

Вид подзадачи: d[i][j] — минимальное количество операций, требуемое для перемножения матриц от i до j.

Рекуррентная формула: d[i][j] = min(d[i][k] + d[k + 1][j] + h[i] * w[k] * w[j]), где k ∈ i..(j - 1).

База рекурсии: d[i][i] = 0.

Вид ответа: d[0][n - 1]. Сложность O(N³).

• ACMP #553 — Объединение блоков

Число способов получить палиндром удалением символов

Дана строка S. Определить число способов удалить из S некоторое количество (возможно, ноль) символов так, чтобы результирующая строка была палиндромом.

Вид подзадачи: d[i][j] — количество способов получить палиндром из подстроки S[i..j].

Рекуррентная формула: Если s[i] != s[j], то d[i][j] = d[i + 1][j] + d[i][j - 1] - d[i + 1][j - 1], иначе d[i][j] = d[i + 1][j] + d[i][j - 1] + 1.

База рекурсии: d[i][i] = 1; если i < j, то d[i][j] = 0.

Вид ответа: d[0][n - 1]. Сложность O(N²).

• ACMP #481 — Количество палиндромов
• ACMP #1328 — Палиндромы

Число действий для восстановления скобок вставкой

Дана строка S, состоящая из круглых, квадратных и фигурных скобок. Определить минимальное количество символов, которые требуется добавить в строку S, чтобы получилась правильная скобочная последовательность.

Вид подзадачи: d[i][j] — минимальное количество символов, которые требуется добавить в подстроку S[i..j], чтобы получилась правильная скобочная последовательность.

Рекуррентная формула: d[i][j] = min(d[i][k] + d[k + 1][j]), где k ∈ i..(j - 1); если S[i] и S[j] — соответствующие открывающая и закрывающая скобки, то d[i][j] = min(d[i][j], d[i + 1][j - 1]).

База рекурсии: d[i][i] = 1; если i < j, то d[i][j] = 0.

Вид ответа: d[0][n - 1]. Сложность O(N³).

• ACMP #249 — Скобки
• ACMP #1340 — Скобки (3)

Игра со стиранием концов ленты

Есть лента A[], на которой записано N чисел. Два игрока поочерёдно стирают с ленты первое или последнее число и добавляют его к своей сумме. Какую максимальную сумму может получить первый игрок?

Вид подзадачи: d[i][j] — максимальная сумма, которую может набрать начинающий игрок на подотрезке ленты [i..j].

Рекуррентная формула: d[i][j] = max(A[i] + ∑_A((i + 1)..j) - d[i + 1][j], A[j] + ∑_A(i..(j - 1)) - d[i][j - 1]).

База рекурсии: d[i][i] = A[i].

Вид ответа: d[0][n - 1]. Сложность O(N²).

• Dean B. — Optimal Strategy for a Game
• CSES 1097

Двумерная динамика (вход — две последовательности; подзадача — два префикса)

Редакционное расстояние

Дана строка A длины N и строка B длины M. Вставка символа стоит C_i, удаление — C_d, замена — C_r. Найти минимальную стоимость получения строки B из строки A.

Вид подзадачи: d[i][j] — минимальная стоимость получения префикса B[0..(j - 1)] из префикса A[0..(i - 1)].

Рекуррентная формула: d[i][j] = min(d[i][j - 1] + C_i, d[i - 1][j] + C_d, d[i - 1][j - 1] + X), где X = C_r, если A[i - 1] ≠ B[j - 1], иначе X = 0.

База рекурсии: d[0][0] = 0.

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N × M).

• Dean B. — Edit Distance
• CSES 1639

Наибольшая общая подпоследовательность (LCS)

Дана строка A длины N и строка B длины M. Найти длину их наибольшей общей подпоследовательности.

Вид подзадачи: d[i][j] — длина наибольшей общей подпоследовательности префиксов A[0..(i - 1)] и B[0..(j - 1)].

Рекуррентная формула: Если A[i - 1] = B[j - 1], то d[i][j] = d[i - 1][j - 1] + 1, иначе d[i][j] = max(d[i - 1][j], d[i][j - 1]).

База рекурсии: d[0][0] = 0.

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N × M).

Соответствие строки шаблону

Дана строка S и шаблон P, который может включать символы '?' и '*'. Проверить соответствие строки шаблону.

Вид подзадачи: d[i][j] — соответствие префикса строки 0..(i - 1) префиксу шаблона 0..(j - 1).

Рекуррентная формула: Если p[j - 1] = '?' или p[j - 1] = s[i - 1], то d[i][j] = d[i - 1][j - 1]. Если p[j - 1] = '*', то d[i][j] = or(d[k][j - 1]), где k ∈ 0..i. d[0][0] = 1.

База рекурсии: d[i][0] = 0, где i ∈ 1..n; d[0][j] = 0, где j ∈ 1..m; если j < 0 или j > i, то d[i][j] = 0.

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N² × M).

• ACMP #104 — Шаблон

Двумерная динамика (вход — две последовательности; подзадача — два префикса; модификация)

Наибольшая общая подстрока

Дана строка A длины N и строка B длины M. Найти длину их наибольшей общей подстроки.

Вид подзадачи: d[i][j] — длина наибольшей общей подстроки префиксов A[0..(i - 1)] и B[0..(j - 1)], заканчивающейся в них на позициях (i - 1) и (j - 1) соответственно.

Рекуррентная формула: Если A[i - 1] = B[j - 1], то d[i][j] = d[i - 1][j - 1] + 1, иначе d[i][j] = 0.

База рекурсии: d[0][0] = 0.

Вид ответа: max(d[i][j]), i ∈ 1..N. j ∈ 1..M. Сложность O(N × M).

Двумерная динамика (вход — таблица; подзадача — двумерный префикс)

Количество путей в таблице

Дана таблица n × m клеток. Фишка находится в клетке [0, 0] и может перемещаться вправо или вниз. Найти количество различных путей фишки от клетки [0, 0] до клетки [n - 1, m - 1]. Некоторые клетки могут быть непроходимыми.

Вид подзадачи: d[i][j] — количество путей из клетки [0, 0] в клетку [i, j].

Рекуррентная формула: d[i][j] = d[i - 1][j] + d[i][j - 1].

База рекурсии: d[0][0] = 1; если клетка [i, j] непроходимая (либо i < 0 или j < 0), то d[i][j] = 0.

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N × M).

• CSES 1638

Максимальный путь в таблице

Дана таблица n × m клеток, в каждой клетке которой записано число. Фишка находится в клетке [0, 0] и может перемещаться вправо или вниз. Найти максимально возможную сумму чисел на посещённых клетках при перемещении фишки от клетки [0, 0] до клетки [n - 1, m - 1]. Некоторые клетки могут быть непроходимыми.

Вид подзадачи: d[i][j] — максимальная сумма на пути из клетки [0, 0] в клетку [i, j].

Рекуррентная формула: d[i][j] = a[i][j] + max(d[i - 1][j], d[i][j - 1]).

База рекурсии: d[0][0] = a[0][0]; если клетка [i, j] непроходимая (либо i < 0 или j < 0), то d[i][j] = -INF.

Вид ответа: d[n][m]. Сложность O(N × M).

• ACMP #120 — Минимальный путь в таблице
• Timus #1119 — Метро

Двумерная динамика (вход — таблица; подзадача — двумерный префикс; модификация)

Максимальный квадрат из единиц

Дана двоичная матрица размера n × m. Определить максимальную площадь её квадратной подматрицы, состоящей только из единиц.

Вид подзадачи: d[i][j] — сторона максимального единичного квадрата с правым нижним углом в клетке [i, j].

Рекуррентная формула: d[i][j] = 1 + min(d[i - 1][j], d[i][j - 1], d[i - 1][j - 1]).

База рекурсии: d[0][0] = a[0][0]; если a[i][j] = 0 (либо i < 0 или j < 0), то d[i][j] = 0.

Вид ответа: max(d[i][j])², где i ∈ 0..(n - 1), j ∈ 0..(m - 1). Сложность O(N × M).

Динамика на подмножествах

• Hackerearth — Dynamic Programming and Bit Masking
• USACO Guide — Dynamic Programming on Bitmasks

Динамика на деревьях

Другие задачи

• Timus #1018 — Двоичная яблоня

Ссылки

• brestprog — Динамическое программирование на примерах
• brestprog — Битовые маски. Динамическое программирование по маскам
• algorithmica.org — Введение в динамическое программирование
• algorithmica.org — Задача о рюкзаке, НВП и НОП
• Василевский Б. — Динамическое программирование по профилю
• Калинин П. — Динамическое программирование
• Кириенко Д. — Динамическое программирование
• Маврин П. — Динамическое программирование
• Codeforces — ДП учимся видеть состояния, придумывать переход
• Brilliant.org — Dynamic Programming
• people.cs.clemson.edu — Dynamic Programming Practice Problems