Дерево отрезков: различия между версиями

Материал из Олимпиадное программирование в УлГТУ
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
Строка 26: Строка 26:
|}
|}


  int t[4 * 100010];
  struct SegmentTree {
    vector<long long> t;
    int size;
   
   
void build(int v, int vl, int vr, int a[]) {
    void build(int v, int vl, int vr, vector<int> &a) {
    if (vl == vr) {
        if (vl == vr) {
        t[v] = a[vl];
            t[v] = a[vl];
         return;
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
         build(2 * v + 1, vl, vm, a);
        build(2 * v + 2, vm + 1, vr, a);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
     }
     }
    int vm = vl + (vr - vl) / 2;
    build(2 * v + 1, vl, vm, a);
    build(2 * v + 2, vm + 1, vr, a);
    t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
}
   
   
int query(int v, int vl, int vr, int l, int r) {
    long long query(int v, int vl, int vr, int l, int r) {
    if (r < vl || vr < l)
        if (vr < l || r < vl)
        return 0;
            return 0;
    if (l <= vl && vr <= r)
        if (l <= vl && vr <= r)
        return t[v];
            return t[v];
    int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
    int ql = query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
        int ql = query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
    int qr = query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
        int qr = query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
    return ql + qr;
        return ql + qr;
  }
    }
   
    void modify(int v, int vl, int vr, int index, int value) {
        if (vr < index || index < vl)
            return;
        if (vl == vr) {
            t[v] += value;
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        modify(2 * v + 1, vl, vm, index, value);
        modify(2 * v + 2, vm + 1, vr, index, value);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }
    SegmentTree(vector<int> &a) :
        size(a.size()), t(4 * a.size()), tAdd(4 * a.size()) {
        build(0, 0, size - 1, a);
    }
    long long getSum(int l, int r) {
        return query(0, 0, size - 1, l, r);
    }
   
   
void modify(int v, int vl, int vr, int pos, int val) {
    void addValue(int index, int value) {
    if (pos < vl || vr < pos)
         modify(0, 0, size - 1, index, value);
         return;
    if (pos == vl && vl == vr) {
        t[v] += val;
        return;
     }
     }
    int vm = vl + (vr - vl) / 2;
  };
    modify(2 * v + 1, vl, vm, pos, val);
    modify(2 * v + 2, vm + 1, vr, pos, val);
    t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
  }


== Запрос на отрезке и модификация на отрезке ==
== Запрос на отрезке и модификация на отрезке ==
Строка 68: Строка 84:
* Перед выводом результата или передачей запроса будем спускать значение <tt>add[v]</tt> потомкам текущей вершины при помощи функции <tt>push()</tt>.
* Перед выводом результата или передачей запроса будем спускать значение <tt>add[v]</tt> потомкам текущей вершины при помощи функции <tt>push()</tt>.


  int t[4 * 100010], add[4 * 100010];
  struct SegmentTree {
    vector<long long> t, tAdd;
    int size;
   
   
void push(int v, int vl, int vr) {
    void build(int v, int vl, int vr, vector<int> &a) {
    if (vl != vr) {
        if (vl == vr) {
         add[2 * v + 1] += add[v];
            t[v] = a[vl];
        add[2 * v + 2] += add[v];        
            return;
         }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        build(2 * v + 1, vl, vm, a);
        build(2 * v + 2, vm + 1, vr, a);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
     }
     }
    t[v] += add[v] * (vr - vl + 1);
    add[v] = 0;
}
   
   
void build(int v, int vl, int vr, int a[]) {
    void push(int v, int vl, int vr) {
    if (vl == vr) {
        if (tAdd[v]) {
        t[v] = a[vl];
            t[v] += (vr - vl + 1) * tAdd[v];
         return;
            if (vl < vr) {
                tAdd[2 * v + 1] += tAdd[v];
                tAdd[2 * v + 2] += tAdd[v];
            }
            tAdd[v] = 0;
         }
     }
     }
    int vm = vl + (vr - vl) / 2;
    build(2 * v + 1, vl, vm, a);
    build(2 * v + 2, vm + 1, vr, a);
    t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
}
   
   
int query(int v, int vl, int vr, int l, int r) {
    long long query(int v, int vl, int vr, int l, int r) {
    push(v, vl, vr);
        push(v, vl, vr);
    if (r < vl || vr < l)
        if (vr < l || r < vl)
        return 0;    
            return 0;
    if (l <= vl && vr <= r)
        if (l <= vl && vr <= r)
        return t[v];
            return t[v];
    int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
    int ql = query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
        int ql = query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
    int qr = query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
        int qr = query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
    return ql + qr;
        return ql + qr;
}
    }
   
   
void modify(int v, int vl, int vr, int l, int r, int val) {
    void modify(int v, int vl, int vr, int l, int r, int value) {
    push(v, vl, vr);
    if (r < vl || vr < l)
        return;
    if (l <= vl && vr <= r) {
        add[v] += val;
         push(v, vl, vr);
         push(v, vl, vr);
         return;
         if (vr < l || r < vl)
            return;
        if (l <= vl && vr <= r) {
            tAdd[v] += value;
            push(v, vl, vr);
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        modify(2 * v + 1, vl, vm, l, r, value);
        modify(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r, value);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }
    SegmentTree(vector<int> &a) :
        size(a.size()), t(4 * a.size()), tAdd(4 * a.size()) {
        build(0, 0, size - 1, a);
    }
    long long getSum(int l, int r) {
        return query(0, 0, size - 1, l, r);
    }
    void addValue(int l, int r, int value) {
        modify(0, 0, size - 1, l, r, value);
     }
     }
    int vm = vl + (vr - vl) / 2;
  };
    modify(2 * v + 1, vl, vm, l, r, val);
    modify(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r, val);
    t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
  }


== Почему для хранения дерева отрезков требуется массив размера 4n? ==
== Почему для хранения дерева отрезков требуется массив размера 4n? ==

Версия от 16:16, 22 декабря 2022

Запрос на отрезке и модификация отдельных элементов

  • Если отрезок текущей вершины не пересекается с отрезком запроса, то возвращается нейтральное значение.
  • Если отрезок текущей вершины целиком включён в отрезок запроса, то возвращается значение, хранящееся в текущей вершине.
  • Во всех остальных случаях запрос перенаправляется потомкам текущей вершины.

Можно выделить два распространённых способа реализации данной логики:

if (r < vl || vr < l)
    //отрезки не пересекаются
if (l <= vl && vr <= r)
    //отрезок текущей вершины принадлежит отрезку запроса
query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
 
if (l > r)
    //отрезки не пересекаются
if (l == vl && vr == r)
    //отрезок текущей вершины принадлежит отрезку запроса
query(2 * v + 1, vl, vm, l, min(r, vm));
query(2 * v + 2, vm + 1, vr, max(l, vm + 1), r);
struct SegmentTree {
    vector<long long> t;
    int size;

    void build(int v, int vl, int vr, vector<int> &a) {
        if (vl == vr) {
            t[v] = a[vl];
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        build(2 * v + 1, vl, vm, a);
        build(2 * v + 2, vm + 1, vr, a);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }

    long long query(int v, int vl, int vr, int l, int r) {
        if (vr < l || r < vl)
            return 0;
        if (l <= vl && vr <= r)
            return t[v];
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        int ql = query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
        int qr = query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
        return ql + qr;
    }

    void modify(int v, int vl, int vr, int index, int value) {
        if (vr < index || index < vl)
            return;
        if (vl == vr) {
            t[v] += value;
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        modify(2 * v + 1, vl, vm, index, value);
        modify(2 * v + 2, vm + 1, vr, index, value);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }

    SegmentTree(vector<int> &a) :
        size(a.size()), t(4 * a.size()), tAdd(4 * a.size()) {
        build(0, 0, size - 1, a);
    }

    long long getSum(int l, int r) {
        return query(0, 0, size - 1, l, r);
    }

    void addValue(int index, int value) {
        modify(0, 0, size - 1, index, value);
    }
};

Запрос на отрезке и модификация на отрезке

  • Считаем, что актуальное значение в вершине v равно t[v] + add[v] * (vr - vl + 1).
  • Перед выводом результата или передачей запроса будем спускать значение add[v] потомкам текущей вершины при помощи функции push().
struct SegmentTree {
    vector<long long> t, tAdd;
    int size;

    void build(int v, int vl, int vr, vector<int> &a) {
        if (vl == vr) {
            t[v] = a[vl];
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        build(2 * v + 1, vl, vm, a);
        build(2 * v + 2, vm + 1, vr, a);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }

    void push(int v, int vl, int vr) {
        if (tAdd[v]) {
            t[v] += (vr - vl + 1) * tAdd[v];
            if (vl < vr) {
                tAdd[2 * v + 1] += tAdd[v];
                tAdd[2 * v + 2] += tAdd[v];
            }
            tAdd[v] = 0;
        }
    }

    long long query(int v, int vl, int vr, int l, int r) {
        push(v, vl, vr);
        if (vr < l || r < vl)
            return 0;
        if (l <= vl && vr <= r)
            return t[v];
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        int ql = query(2 * v + 1, vl, vm, l, r);
        int qr = query(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r);
        return ql + qr;
    }

    void modify(int v, int vl, int vr, int l, int r, int value) {
        push(v, vl, vr);
        if (vr < l || r < vl)
            return;
        if (l <= vl && vr <= r) {
            tAdd[v] += value;
            push(v, vl, vr);
            return;
        }
        int vm = vl + (vr - vl) / 2;
        modify(2 * v + 1, vl, vm, l, r, value);
        modify(2 * v + 2, vm + 1, vr, l, r, value);
        t[v] = t[2 * v + 1] + t[2 * v + 2];
    }

    SegmentTree(vector<int> &a) :
        size(a.size()), t(4 * a.size()), tAdd(4 * a.size()) {
        build(0, 0, size - 1, a);
    }

    long long getSum(int l, int r) {
        return query(0, 0, size - 1, l, r);
    }

    void addValue(int l, int r, int value) {
        modify(0, 0, size - 1, l, r, value);
    }
};

Почему для хранения дерева отрезков требуется массив размера 4n?

Пусть для массива a[] из n элементов создаётся дерево отрезков, хранящееся в массиве t[]. Правило требует, чтобы размер массива t[] был не менее 4n.

Дерево отрезков для массива из 8 элементов требует 15 элементов

Однако можно рассуждать следующим образом: двоичным деревом с наибольшим количеством элементов является полное двоичное дерево. Если количество листьев в полном двоичном дереве равно n, то общее количество вершин в нём равно 2n - 1. Возможно ли, что для хранения дерева отрезков всегда будет достаточно массива размера 2n?

Дерево отрезков для массива из 10 элементов требует 25 элементов

К сожалению, это не так. Процедура build не обязательно формирует полное двоичное дерево; некоторые элементы массива t[] могут не использоваться. Например, если n = 5, то дерево отрезков имеет высоту 4 и содержит 9 элементов. Если N = 10, объединяются два таких дерева высоты 4, и на нижнем уровне появляются 6 неиспользуемых элементов (t[17]..t[22]).

Оценим более точно требуемый размер массива t[].

Прежде всего определим вспомогательные функции leftHalf(n) и rightHalf(n), возвращающие размер левого и правого поддеревьев дерева отрезков для массива a[] из n элементов (n > 1). Если n чётно, то обе функции возвращают n / 2. Если n нечётно, то средний элемент относится к левой части.

int leftHalf(int n) {
    return n / 2 + n % 2;
}

int rightHalf(int n) {
    return n / 2;
} 

Далее определим функцию height(n), возвращающую высоту дерева отрезков для массива a[] из n элементов. Если n = 1, то height(n) = 1. В других случаях height(n) = 1 + max(height(leftHalf(n)), height(rightHalf(n))); так как левое поддерево всегда не меньше правого, эту запись можно упростить: height(n) = 1 + height(leftHalf(n)).

Кроме того, определим функцию fullSize(h), возвращающую размер полного двоичного дерева высоты h.

int height(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    else
        return 1 + height(leftHalf(n));
}

int fullSize(int h) {
    return (1 << h) - 1;
}

Наконец, определим функцию tSize(n), возвращающую размер t[] для массива a[] из n элементов. Если n = 1, то tSize(n) = 1. Далее, если левое и правое поддерево имеют одинаковую высоту, то необходимый размер t[] определяется последним (нижним) элементом правого поддерева, а левое поддерево становится полным: tSize(n) = 1 + fullSize(height(leftHalf(n))) + tSize(rightHalf(n)). Если же левое поддерево выше правого, то необходимый размер t[] определяется последним (нижним) элементом левого поддерева, а правое поддерево становится полным: tSize(n) = 1 + tSize(leftHalf(n)) + fullSize(height(rightHalf(n))).

int tSize(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    int leftHeight = height(leftHalf(n)), rightHeight = height(rightHalf(n));
    if (leftHeight == rightHeight)
        return 1 + fullSize(leftHeight) + tSize(rightHalf(n));
    else
        return 1 + tSize(leftHalf(n)) + fullSize(rightHeight);
}
Функции tSize(x), 2x, 3x, 4x

Можно видеть, что график функции tSize практически всегда находится выше графика функции 2x и всегда ниже графика функции 4x. Например, tSize(8448) = 32705, что значительно превышает не только удвоенный, но и утроенный размер исходного массива.

Ссылки

Теория:

Демонстрация:

Код:

Задачи: