Мосты. Компоненты рёберной двусвязности

• Для каждой вершины v будем подсчитывать глубину depth[v] и величину upDepth[v] — минимальную глубину некоторой вершины, достижимой из текущего поддерева переходом по одному обратному ребру.
• Ребро (v — to) является мостом, если из поддерева вершины to в дереве обхода в глубину нет обратных рёбер в вершину v или её предков (upDepth[to] > depth[v]).

struct Graph {
    vector<vector<int>> g;
    vector<int> visited, depth, upDepth;
    vector<pair<int, int>> bridges;

    void dfs(int v, int p) {
        visited[v] = 1;
        depth[v] = (p == -1 ? 0 : depth[p] + 1);
        upDepth[v] = depth[v];

        for (int to : g[v]) {
            if (to == p) {
                continue;
            } else if (!visited[to]) {
                dfs(to, v);
                upDepth[v] = min(upDepth[v], upDepth[to]);
                if (upDepth[to] > depth[v])
                    bridges.push_back({ v, to });
            } else {
                upDepth[v] = min(upDepth[v], depth[to]);
            }
        }
    }

    Graph(int vertexCount) {
        g.resize(vertexCount);
        visited.resize(vertexCount);
        depth.resize(vertexCount);
        upDepth.resize(vertexCount);
    }

    void addEdge(int a, int b) {
        g[a].push_back(b);
        g[b].push_back(a);
    }

    vector<pair<int, int>> getBridges() {
        for (int v = 0; v < g.size(); v++)
            if (!visited[v])
                dfs(v, -1);
        return bridges;
    }
};

Ссылки

Теория:

• e-maxx.ru — Поиск мостов
• neerc.ifmo.ru/wiki — Использование обхода в глубину для поиска мостов
• neerc.ifmo.ru/wiki — Построение компонент реберной двусвязности
• algorithmica.org — Мосты и точки сочленения
• Калинин П. Мосты и точки сочленения
• Лахно А. Поиск в глубину и его применение

Демонстрация:

• VisuAlgo — Graph Traversal

Код:

• codelibrary/java/graphs/dfs/Biconnectivity.java
• algos/Graphs/BridgesSearch.cpp

Задачи:

• informatics.mccme.ru — Курс «Алгоритмы на графах» — часть 2
• Codeforces #100070.E — Неизбежность