Мосты. Компоненты рёберной двусвязности

• Для каждой вершины v будем подсчитывать глубину depth[v] и величину upDepth[v] — минимальную глубину некоторой вершины, достижимой из текущего поддерева переходом по одному обратному ребру.
• Ребро (v — to) является мостом, если из поддерева вершины to в дереве обхода в глубину нет обратных рёбер в вершину v или её предков (upDepth[to] > depth[v]).

vector<vector<int>> graph(vertexCount);
vector<bool> visited(vertexCount);
vector<int> depth(vertexCount); // глубина вершины в дереве обхода
vector<int> upDepth(vertexCount); // насколько высоко можно добраться из поддерева вершины, пройдя 1 раз по обратному ребру

void dfs(int v, int parent) {
    visited[v] = 1;
    depth[v] = (parent == -1 ? 0 : depth[parent] + 1);
    upDepth[v] = depth[v];

    for (int to : graph[v]) {
        if (to == parent) {
            continue;
        } else if (!visited[to]) {
            dfs(to, v);
            upDepth[v] = min(upDepth[v], upDepth[to]);
            if (upDepth[to] > depth[v])
                /* (v, to) - мост */;
        } else {
            upDepth[v] = min(upDepth[v], depth[to]);
        }
    }     
}

for (int v = 0; v < vertexCount; v++)
    if (!visited[v])
        dfs(v, -1);

Ссылки

Теория:

• e-maxx.ru — Поиск мостов
• neerc.ifmo.ru/wiki — Использование обхода в глубину для поиска мостов
• neerc.ifmo.ru/wiki — Построение компонент реберной двусвязности
• algorithmica.org — Мосты и точки сочленения
• Калинин П. Мосты и точки сочленения
• Лахно А. Поиск в глубину и его применение

Демонстрация:

• VisuAlgo — Graph Traversal

Код:

• algos/Graphs/BridgesSearch.cpp

Задачи:

• informatics.mccme.ru — Курс «Алгоритмы на графах» — часть 2
• Codeforces #100070.E — Неизбежность