Алгоритм Флойда

Ищем расстояния во взвешенном графе от каждой вершины до всех остальных. Веса могут быть любыми.

Идея алгоритма:

• Инициализация. Пусть dist[a][b] — кратчайшее расстояние от a до b, но длиной не более чем одно ребро. Нетрудно понять, что dist — это просто матрица смежности графа (возможно, с небольшими модификациями):

• Случай простого графа: dist[a][a] = 0, dist[a][b] = весу ребра (a, b); если ребра (a, b) нет, то dist[a][b] = INF;
• Если есть кратные рёбра, то dist[a][b] = весу минимального ребра между a и b;
• Если есть петли, то dist[a][a] = min(0, вес минимальной петли из a);

• Шаг 0. Теперь разрешаем путям проходить через вершину 0. Обновляем dist: dist[a][b] = min(dist[a][b], dist[a][0] + dist[0][b]);
• Шаг 1. Теперь разрешаем путям проходить через вершину 1. Обновляем dist: dist[a][b] = min(dist[a][b], dist[a][1] + dist[1][b]);
• Повторяем до шага vertexCount - 1.

const int INF = 1e9;
vector<vector<int>> dist(vertexCount, vector<int>(vertexCount, INF));

for (int v = 0; v < vertexCount; v++)
    dist[v][v] = 0;

for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
    int a, b, w;
    cin >> a >> b >> w;
    dist[a][b] = min(dist[a][b], w);
}

for (int v = 0; v < vertexCount; v++) {
    for (int a = 0; a < vertexCount; a++) {
        for (int b = 0; b < vertexCount; b++) {
            if (dist[a][v] == INF || dist[v][b] == INF)
                continue;
            dist[a][b] = min(dist[a][b], dist[a][k] + dist[k][b]);
            dist[a][b] = max(dist[a][b], -INF);
        }
    }
}

На что нужно обратить внимание:

• При инициализации матрицы на главной диагонали должны быть нули (если нет петель отрицательного веса), а там, где рёбер нет — бесконечности;
• При наличии отрицательных рёбер следует избегать присваиваний вида (INF - 1). Для этого, если хотя бы один из фрагментов пути равен INF, нужно делать continue;
• При наличии отрицательных циклов расстояния могут очень быстро уменьшаться и приводить к отрицательным переполнениям. Поэтому нужно ограничивать отрицательные числа снизу.

Отрицательные циклы

Вершина v лежит на отрицательном цикле, если после запуска Флойда dist[v][v] < 0.

При наличии отрицательных циклов между некоторыми парами вершин может не существовать кратчайшего пути. Между вершинами a и b нет кратчайшего пути, если существует вершина v, лежащая на отрицательном цикле, достижимая из a и из которой достижима b.

const int NO_SHORTEST_PATH = -2e9;
for (int v = 0; v < vertexCount; v++)
    for (int a = 0; a < vertexCount; a++)
        for (int b = 0; b < vertexCount; b++)
            if (dist[a][v] != INF && dist[v][v] < 0 && dist[v][b] != INF)
                dist[a][b] = NO_SHORTEST_PATH;

Ссылки

Теория:

• e-maxx.ru — Алгоритм Флойда-Уоршелла
• cp-algorithms.com — Floyd-Warshall Algorithm
• neerc.ifmo.ru/wiki — Алгоритм Флойда
• brestprog.by — Алгоритм Флойда-Уоршелла
• algorithmica.org — Кратчайшие пути в графе
• brilliant.org — Floyd-Warshall Algorithm
• usaco.guide — Shortest Paths with Non-Negative Edge Weights: Floyd-Warshall, Shortest Paths with Negative Edge Weights: Floyd-Warshall

Демонстрация:

• www.cs.usfca.edu — Floyd-Warshall All-Pairs Shortest Path

Код:

• indy256/codelibrary/java/graphs/shortestpaths/FloydWarshall.java
• ADJA/algos/Graphs/FloydWarshall.cpp
• kevin-wayne/algs4/FloydWarshall.java

Задачи:

• informatics.mccme.ru — Курс «Алгоритмы на графах» — часть 5
• ACMP #135 — Алгоритм Флойда
• ACMP #136 — Алгоритм Флойда - 2
• ACMP #137 — Существование пути
• ACMP #562 — Слабая K-связность