Быстрое преобразование Фурье
Перейти к навигации
Перейти к поиску
using Complex = complex<double>;
void fft(vector<Complex> &p, Complex x) {
size_t n = p.size();
if (n == 1)
return;
vector<Complex> a(n / 2), b(n / 2);
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
a[i] = p[2 * i];
b[i] = p[2 * i + 1];
}
fft(a, x * x);
fft(b, x * x);
Complex xPow = 1;
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
p[i] = a[i] + xPow * b[i];
p[n / 2 + i] = a[i] - xPow * b[i];
xPow *= x;
}
}
const double PI = acos(-1);
vector<Complex> fixSize(vector<int> &p, int targetSize) {
vector<Complex> res(p.begin(), p.end());
while (res.size() < targetSize || (res.size() & (res.size() - 1)))
res.push_back(0);
return res;
}
vector<Complex> evaluate(vector<int> &p, int targetSize) {
vector<Complex> res = fixSize(p, targetSize);
fft(res, polar(1.0, 2 * PI / res.size()));
return res;
}
vector<int> interpolate(vector<Complex> &p) {
int n = p.size();
fft(p, polar(1.0, -2 * PI / n));
vector<int> res(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
res[i] = round(real(p[i]) / n);
while (res.size() > 1 && !res.back())
res.pop_back();
return res;
}
vector<int> multiply(vector<int> &pa, vector<int> &pb) {
int targetSize = pa.size() + pb.size();
vector<Complex> a = evaluate(pa, targetSize);
vector<Complex> b = evaluate(pb, targetSize);
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
a[i] *= b[i];
return interpolate(a);
}
Ссылки
Видео
Теория
- e-maxx.ru — Быстрое преобразование Фурье за O (N log N). Применение к умножению двух полиномов или длинных чисел
- cp-algorithms.com — Fast Fourier transform
- neerc.ifmo.ru/wiki — Быстрое преобразование Фурье
- algorithmica.org — Быстрое преобразование Фурье 1, 2
- Кульков А. — Быстрое преобразование Фурье и многочлены
- usaco.guide — Introduction to Fast Fourier Transform
Код