Точки сочленения. Компоненты вершинной двусвязности

• Для каждой вершины v будем подсчитывать глубину depth[v] и величину upDepth[v] — минимальную глубину некоторой вершины, достижимой из текущего поддерева переходом по одному обратному ребру.
• Вершина v является точкой сочленения, если у неё имеется хотя бы один такой потомок to, что из поддерева этого потомка в дереве обхода в глубину нет обратных рёбер в предков вершины v (upDepth[to] >= depth[v]).
• Корень дерева обхода в глубину (parent == -1) является точкой сочленения тогда и только тогда, когда у него более одного непосредственного потомка.

vector<vector<int>> graph(vertexCount);
vector<bool> visited(vertexCount);
vector<int> depth(vertexCount); // глубина вершины в дереве обхода
vector<int> upDepth(vertexCount); // насколько высоко можно добраться из поддерева вершины, пройдя 1 раз по обратному ребру

void dfs(int v, int parent) {
    visited[v] = 1;
    depth[v] = (parent == -1 ? 0 : depth[parent] + 1);
    upDepth[v] = depth[v];
    int childrenCount = 0;

    for (int to : graph[v]) {
        if (to == parent) {
            continue;
        } else if (!visited[to]) {
            dfs(to, v);
            childrenCount++;
            upDepth[v] = min(upDepth[v], upDepth[to]);
            if (parent != -1 && upDepth[to] >= depth[v])
                /* v - точка сочленения */;
        } else {
            upDepth[v] = min(upDepth[v], depth[to]);
        }
    }

    if (parent == -1 && childrenCount > 1)
        /* v - точка сочленения */;
}

for (int v = 0; v < vertexCount; v++)
    if (!visited[v])
        dfs(v, -1);

Ссылки

Теория:

• e-maxx.ru — Поиск точек сочленения
• neerc.ifmo.ru/wiki — Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения
• neerc.ifmo.ru/wiki — Построение компонент вершинной двусвязности
• algorithmica.org — Мосты и точки сочленения
• Калинин П. Мосты и точки сочленения
• Лахно А. Поиск в глубину и его применение

Демонстрация:

• VisuAlgo — Graph Traversal

Код:

• codelibrary/java/graphs/dfs/Biconnectivity.java
• algos/Graphs/CutpointsSearch.cpp

Задачи:

• informatics.mccme.ru — Курс «Алгоритмы на графах» — часть 2