Точки сочленения. Компоненты вершинной двусвязности: различия между версиями

Материал из Олимпиадное программирование в УлГТУ
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «== Ссылки == * [http://e-maxx.ru/algo/cutpoints e-maxx.ru — Поиск точек сочленения] * [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%…»)
 
Нет описания правки
 
(не показано 11 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
* Для каждой вершины <tt>v</tt> будем подсчитывать глубину <tt>depth[v]</tt> и величину <tt>upDepth[v]</tt> &mdash; минимальную глубину некоторой вершины, достижимой из текущего поддерева переходом по одному обратному ребру.
* Вершина <tt>v</tt> является точкой сочленения, если у неё имеется хотя бы один такой потомок to, что из поддерева этого потомка в дереве обхода в глубину нет обратных рёбер в предков вершины v (<tt>upDepth[to] >= depth[v]</tt>).
* Корень дерева обхода в глубину (<tt>parent == -1</tt>) является точкой сочленения тогда и только тогда, когда у него более одного непосредственного потомка.
* Одна и та же вершина может быть признана точкой сочленения несколько раз, поэтому результат следует складывать в множество, а не в вектор.
struct Graph {
    vector<vector<int>> graph;
    vector<int> visited, depth, upDepth;
    set<int> cutpoints;
    void dfs(int v, int p) {
        visited[v] = 1;
        depth[v] = (p == -1 ? 0 : depth[p] + 1);
        upDepth[v] = depth[v];
        int childrenCount = 0;
        for (int to : graph[v]) {
            if (to == p) {
                continue;
            } else if (!visited[to]) {
                dfs(to, v);
                childrenCount++;
                upDepth[v] = min(upDepth[v], upDepth[to]);
                if (p != -1 && upDepth[to] >= depth[v])
                    cutpoints.insert(v);
            } else {
                upDepth[v] = min(upDepth[v], depth[to]);
            }
        }
        if (p == -1 && childrenCount > 1)
            cutpoints.insert(v);
    }
    Graph(int vertexCount) :
        graph(vertexCount), visited(vertexCount), depth(vertexCount), upDepth(vertexCount) {}
    void addEdge(int a, int b) {
        graph[a].push_back(b);
        graph[b].push_back(a);
    }
    set<int> getCutpoints() {
        for (int v = 0; v < graph.size(); v++)
            if (!visited[v])
                dfs(v, -1);
        return cutpoints;
    }
};
== Ссылки ==
== Ссылки ==
* [http://e-maxx.ru/algo/cutpoints e-maxx.ru &mdash; Поиск точек сочленения]
Теория:
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0_%D0%B2_%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA_%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F neerc.ifmo.ru/wiki &mdash; Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]
:* [http://e-maxx.ru/algo/cutpoints e-maxx.ru &mdash; Поиск точек сочленения]
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 neerc.ifmo.ru/wiki &mdash; Построение компонент вершинной двусвязности]
:* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0_%D0%B2_%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA_%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F neerc.ifmo.ru/wiki &mdash; Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения]
* [http://informatics.mccme.ru/course/view.php?id=6 informatics.mccme.ru &mdash; Курс &laquo;Алгоритмы на графах&raquo; &mdash; часть 2]
:* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 neerc.ifmo.ru/wiki &mdash; Построение компонент вершинной двусвязности]
* [http://informatics.mccme.ru/file.php/97/lakhno_dfs.pdf Лахно А. П. Поиск в глубину и его применение]
:* [http://algorithmica.org/tg/bridges algorithmica.org — Мосты и точки сочленения]
* [http://github.com/indy256/codelibrary/blob/master/java/src/BiconnectedComponents.java CodeLibrary &mdash; Biconnected components, bridges and cut points]
:* [https://notes.algoprog.ru/dfs/04_4_bridges.html Калинин П. Мосты и точки сочленения]
* [http://github.com/ADJA/algos/blob/master/Graphs/CutpointsSearch.cpp Algos &mdash; Algorithm for finding all cutpoints in the graph]
:* [https://ejudge.lksh.ru/archive/2014/07/Cprime/stuff/Dfs.pdf Лахно А. Поиск в глубину и его применение]
Демонстрация:
:* [https://visualgo.net/en/dfsbfs VisuAlgo &mdash; Graph Traversal]
Код:
:* [https://github.com/indy256/codelibrary/blob/master/java/graphs/dfs/Biconnectivity.java codelibrary/java/graphs/dfs/Biconnectivity.java]
:* [http://github.com/ADJA/algos/blob/master/Graphs/CutpointsSearch.cpp algos/Graphs/CutpointsSearch.cpp]
Задачи:
:* [http://informatics.mccme.ru/course/view.php?id=6 informatics.mccme.ru &mdash; Курс &laquo;Алгоритмы на графах&raquo; &mdash; часть 2]


[[Category:Поиск в глубину и его приложения]]
[[Category:Поиск в глубину и его приложения]]

Текущая версия от 12:24, 17 марта 2023

  • Для каждой вершины v будем подсчитывать глубину depth[v] и величину upDepth[v] — минимальную глубину некоторой вершины, достижимой из текущего поддерева переходом по одному обратному ребру.
  • Вершина v является точкой сочленения, если у неё имеется хотя бы один такой потомок to, что из поддерева этого потомка в дереве обхода в глубину нет обратных рёбер в предков вершины v (upDepth[to] >= depth[v]).
  • Корень дерева обхода в глубину (parent == -1) является точкой сочленения тогда и только тогда, когда у него более одного непосредственного потомка.
  • Одна и та же вершина может быть признана точкой сочленения несколько раз, поэтому результат следует складывать в множество, а не в вектор.
struct Graph {
    vector<vector<int>> graph;
    vector<int> visited, depth, upDepth;
    set<int> cutpoints;

    void dfs(int v, int p) {
        visited[v] = 1;
        depth[v] = (p == -1 ? 0 : depth[p] + 1);
        upDepth[v] = depth[v];
        int childrenCount = 0;

        for (int to : graph[v]) {
            if (to == p) {
                continue;
            } else if (!visited[to]) {
                dfs(to, v);
                childrenCount++;
                upDepth[v] = min(upDepth[v], upDepth[to]);
                if (p != -1 && upDepth[to] >= depth[v])
                    cutpoints.insert(v);
            } else {
                upDepth[v] = min(upDepth[v], depth[to]);
            }
        }

        if (p == -1 && childrenCount > 1)
            cutpoints.insert(v);
    }

    Graph(int vertexCount) :
        graph(vertexCount), visited(vertexCount), depth(vertexCount), upDepth(vertexCount) {}

    void addEdge(int a, int b) {
        graph[a].push_back(b);
        graph[b].push_back(a);
    }

    set<int> getCutpoints() {
        for (int v = 0; v < graph.size(); v++)
            if (!visited[v])
                dfs(v, -1);
        return cutpoints;
    }
};

Ссылки

Теория:

Демонстрация:

Код:

Задачи: