Дисциплина «Алгоритмы и структуры данных» ИВТ УлГТУ

Новости и замечания

Для более быстрой связи лучше использовать v.folunin@gmail.com вместо v.folunin@ulstu.ru (со второго адреса пересылка выполняется не так оперативно).

Ответы редакции на письма читателей

О компараторах

Вопрос: Когда для сортировки я использую компаратор вида return a.x < b.x;, всё работает, но стоит мне изменить компаратор на return a.x <= b.x;, как я получаю ошибку «invalid comparator». С чем это связано?

Ответ: Компаратор f(a, b) для функции sort() (а также для set и map) должен определять строгий частичный порядок (strict weak ordering) на элементах множества. Это означает, что должны выполняться следующие свойства:

• Антирефлексивность: всегда f(a, a) == false (ни один элемент не может идти до самого себя);
• Антисимметричность: если f(a, b) == true, то f(b, a) == false (если a идёт до b, то b не может идти до a);
• Транзитивность: если f(a, b) == true и f(b, c) == true, то f(a, c) == true (если a идёт до b, а b — до c, то a идёт до c).

Функция sort() использует компаратор так:

• Если f(a, b), то a «меньше» b;
• Если !f(a, b) и f(b, a), то a «больше» b;
• Если !f(a, b) и !f(b, a), то a «равно» b.

Сортировка не сможет упорядочить элементы правильно, если одновременно будут истинны f(a, b) и f(b, a). Если используется компаратор вида return a.x <= b.x;, то при одинаковых значениях x у разных элементов эти элементы не смогут быть упорядочены, так как получается, что каждый из них должен идти перед другим (не говоря уже о сравнении элемента с самим собой). Поэтому возникает исключение.

Материалы по программированию на C++

• Курс «Введение в программирование на C++» от Яндекса и НИУ ВШЭ
• Краткая справка по указателям
• Исчерпывающее описание стандартной библиотеки

Лекции

Конспект

Конспект лекций

В 2016 г. составлялся студентами. В настоящее время неспешно переписывается преподавателем.

План

• Сложность алгоритмов. Сортировки

Правила асимптотического анализа алгоритмов. Асимптотические обозначения. Основные классы сложности.

Сортировки: выбором, вставками, слиянием, быстрая. Ω-оценка для сортировок сравнением.

Устойчивость сортировок. Сортировки за линейное время: подсчётом, поразрядная.

• Бинарный поиск

Бинарный поиск элемента в отсортированном массиве. Поиск первого и последнего вхождения.

Бинарный поиск по ответу.

Вещественный бинарный поиск.

Тернарный поиск.

• Динамическое программирование. Жадные алгоритмы

Решение задач комбинаторной оптимизации: полный перебор и методы его сокращения.

Жадные алгоритмы. Принцип жадного выбора. Задачи: непрерывный рюкзак, выбор заявок, размен монет, коды Хаффмана.

Динамическое программирование. Критерии применимости ДП. Ленивая рекурсия и просмотр вперёд. Восстановление решения.

Виды одномерной и двумерной динамики.

Краткие видео по динамическому программированию: 1 2 3 4 5 6 7

• Структуры данных. Расширяющийся массив. Список

Смежные и связные структуры данных. Работа с классами и динамической памятью.

Понятие амортизированной сложности. Стратегии реализации динамического массива.

Реализации списков.

Сравнение быстродействия основных операций для массивов и списков.

• Стек. Очередь. Очередь с приоритетами

Стек LIFO: реализация на массиве и связном списке. Классические приложения стека.

Очередь FIFO: реализация на циклическом массиве и связном списке. Классические приложения очереди. Дек.

Интерфейс очереди с приоритетами. Двоичная куча.

• Деревья. Хеш-таблицы

Интерфейс АТД «Множество» и «Словарь».

Двоичные деревья поиска. Поиск, добавление и удаление элементов: рекурсивная и нерекурсивная реализация.

Принципы функционирования хеш-таблиц. Разрешение коллизий: метод цепочек, открытая адресация.

• Балансирующиеся деревья

Недостатки наивной реализации двоичного дерева поиска.

Обзор балансирующихся деревьев: 2-3-, красно-чёрные и AA-деревья.

Декартово дерево. Реализация интерфейса АТД «Множество» и «Словарь».

Множественные операции в декартовом дереве.

• Графы. Поиск в глубину

Представление графа. Матрица смежности, списки смежности, список рёбер.

Поиск в глубину.

Компоненты связности.

Поиск циклов.

Топологическая сортировка.

Компоненты сильной связности.

Поиск мостов.

• Кратчайшие пути

Кратчайшие пути в невзвешенном графе. Поиск в ширину.

Кратчайшие пути в графе с неотрицательными весами. Алгоритм Дейкстры за O(V²) и за O(ElogV).

Кратчайшие пути в ациклических орграфах.

Кратчайшие пути в графе с отрицательными весами. Алгоритм Форда-Беллмана.

Кратчайшие пути между всеми парами вершин. Алгоритм Флойда.

Проверка графа на наличие отрицательного цикла.

• Минимальный остов. Система непересекающихся множеств

Алгоритм Прима.

Алгоритм Краскала.

Структура данных «Система непересекающихся множеств» и её эвристики.

Практика

К каждой лекции прилагается комплект задач на vtcloud9. Задачи можно решать на C++ или Java.

Решения задач каждого комплекта засчитываются в течение одной недели после конца лекции. Если вы не смогли решить комплект по уважительной причине, сообщите преподавателю.

Курсовая работа

• Задания на оценку «отлично»
• Задания на оценку «хорошо»
• Задания на оценку «удовлетворительно»

Экзамен

Таблица результатов дисциплины

О выставлении бонусных баллов за плагиат

По каждой задаче, кроме 8E, автоматически формируется сводка данных об идентичности решений (пример).

Если два автора имеют по некоторой задаче два решения, совпадающие на 80% или более, то каждый из авторов получает по этой задаче 1 бонусный балл.

Каждый бонусный балл сокращает итоговую оценку за практическую работу в семестре на 2 (другими словами, нивелирует 2 сданные задачи).

Важно: преподаватель намеренно воздержался от того, чтобы самостоятельно анализировать подозрительные случаи. Получить 1-2 бонусных балла — это нормально, и ожидается, что сдавшие большую часть задач не пострадают, даже если антиплагиат ошибётся. Если у вас есть претензии к результатам, готовьтесь обсуждать их на консультации.

Оценки

Оценка за практическую работу в семестре рассчитывается по количеству сданных задач (с учётом баллов антиплагиата). Всего в семестре было предложено 64 задачи.

• 70% сданных задач (45 и более) — оценка «Отлично»;
• 50% сданных задач (32 и более) — оценка «Хорошо»;
• 30% сданных задач (19 и более) — оценка «Удовлетворительно»;

Оценка за курсовую работу учитывает выбранную сложность работы и выставляется по результатам защиты.

Для допуска к экзамену необходимо иметь оценки не ниже «Удовлетворительно» за практическую работу в семестре и за курсовую работу.

Максимальная оценка, которую можно получить на экзамене, рассчитывается как сумма оценок за практическую работу в семестре и за курсовую работу, делённая на 2 и округлённая вверх.

Примерный список экзаменационных вопросов

В любом билете может быть задан дополнительный вопрос вида:

• Какое назначение у этого алгоритма (структуры данных)?
• Какая асимптотическая оценка у этого алгоритма (этой операции)?

Асимптотический анализ алгоритмов.

• Отсортируйте оценки сложности от наиболее эффективных к наименее эффективным
• Дайте O-оценку для следующего кода
• Дайте оценки для следующего графика
• Какую сложность должен иметь алгоритм, если размер входных данных равен <...>, а ограничение времени составляет около 1 с?

Квадратичные сортировки

• Нарисуйте шаги сортировки выбором (вставками) для заданного массива
• Напишите (псевдо)код и дайте оценки сортировки выбором (вставками)

Эффективные сортировки

• Нарисуйте шаги сортировки слиянием (быстрой) для заданного массива
• Нарисуйте шаги слияния двух заданных массивов
• Напишите (псевдо)код процедуры слияния
• Нарисуйте шаги разделения заданного массива по опорному элементу
• Составьте контрпример к быстрой сортировке, если опорный элемент выбирается указанным образом
• Напишите (псевдо)код сортировки подсчётом

Бинарный поиск. Тернарный поиск.

• Напишите (псевдо)код поиска первого (последнего) вхождения элемента в отсортированный массив
• Решите с помощью бинарного поиска следующую задачу: <...>
• Напишите (псевдо)код поиска минимума (максимума) функции с одним экстремумом
• Решите с помощью тернарного поиска следующую задачу: <...>

Жадные алгоритмы и динамическое программирование

• Задача <...> решается следующим жадным алгоритмом: <...>. Составьте контртест
• Решите с помощью динамического программирования следующую задачу: <...>. Нарисуйте таблицу мемоизации
• Покажите, как по таблице мемоизации восстановить оптимальный ответ (например, оптимальный путь)

Массивы и списки. Стек. Очередь

• Нарисуйте таблицу основных операций массивов и списков с оценками
• Напишите (псевдо)код реализации расширяющегося массива
• Напишите (псевдо)код реализации стека (очереди) на односвязном списке

Очередь с приоритетами. Куча.

• Нарисуйте таблицу основных операций очереди с приоритетами с оценками
• Нарисуйте шаги добавления в кучу следующих ключей: <...>
• Нарисуйте шаги извлечения из кучи трёх элементов
• Напишите (псевдо)код операции up (down)

Реализация ассоциативных массивов. Деревья, хеш-таблицы.

• Нарисуйте таблицу основных операций деревьев и хеш-таблиц с оценками для лучшего и худшего случаев
• Нарисуйте шаги добавления в небалансирующееся двоичное дерево поиска следующих ключей: <...>
• Нарисуйте шаги поиска в дереве следующих ключей: <...>
• Нарисуйте шаги добавления в хеш-таблицу с указанной хеш-функцией следующих ключей: <...>
• Нарисуйте шаги поиска в хеш-таблице следующих ключей: <...>
• Покажите различные стратегии разрешения коллизий в хеш-таблицах

Основные определения теории графов. Способы задания графов

• Составьте матрицу смежности, списки смежности и список рёбер для указанного графа
• В задаче требуется производить с графом следующие операции: <...> Какой способ хранения графа следует выбрать?

Поиск в глубину и его приложения

• Нарисуйте шаги поиска в глубину на указанном графе
• Напишите (псевдо)код поиска в глубину для указанной задачи (подсчёта компонент связности, поиска циклов и т. п.)
• Найдите топологическую сортировку указанного графа

Кратчайшие пути

• Какой алгоритм следует применить для поиска кратчайших путей на указанном графе?
• Нарисуйте шаги поиска в ширину на указанном графе
• Напишите (псевдо)код поиска в ширину
• Нарисуйте шаги алгоритма Дейкстры на указанном графе
• Нарисуйте шаги алгоритма Форда-Беллмана на указанном графе
• Покажите, как восстановить оптимальный путь